تحليل رياضي/المعادلات التفاضلية
عموميات
عدل- ليكن عددا حقيقيا غير منعدم.
نريد أن نحدد جميع الدوال القابلة للاشتقاق على والتي تحقق لكل من : ✪
وإذا رمزنا للمجهول بالرمز وللمشتقة بالرمز فإن العلاقة ✪ تُكتب :
المتساوية تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى.
كل دالة تحقق العلاقة ✪ تسمى حلا لهذه المعادلة التفاضلية. وحل المعادلة التفاضلية يعني تحديد جميع هذه الحلول.
- ليكن و عددين حقيقيين.
المتساوية تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية و المعادلة تسمى معادلتها المميزة.
حل المعادلة التفاضلية يعني تحديد جميع الدوال القابلة للاشتقاق مرتين على والتي تحقق لكل من :
المعادلة التفاضلية
عدل
ملاحظة : لكل و من ، يوجد حل وحيد للمعادلة التفاضلية والذي يحقق
المعادلة التفاضلية
عدلليكن و عددين حقيقيين غير منعدمين.
حلول المعادلة التفاضلية هي الدوال المعرفة على بما يلي :حيث عدد حقيقي ثابت.
المعادلة التفاضلية
عدلليكن و عددين حقيقيين. نعتبر المعادلة التفاضلية ، ولتكن معادلتها المميزة.
- إذا كان للمعادلة حلان حقيقيان و فإن حلول المعادلة التفاضلية هي الدوال المعرفة على بما يلي :
، حيث و عددان حقيقيان ثابتان.
- إذا كان للمعادلة حل حقيقي وحيد فإن حلول المعادلة التفاضلية هي الدوال المعرفة على بما يلي :
، حيث و عددان حقيقيان ثابتان.
- إذا كان للمعادلة حلان عُقَدِيان مترافقان أحدهما فإن حلول المعادلة التفاضلية هي الدوال المعرفة على بما يلي :
، حيث و عددان حقيقيان ثابتان.
ملاحظة : في الحالة الثالثة يمكن كتابة الحلول على الشكل حيث و عددان حقيقيان ثابتان.
انظر أيضا
عدلهناك ملفات عن Differential equations في ويكيميديا كومنز. |