تحليل رياضي/الدوال اللوغاريتمية

دالة اللوغاريتم النيبيري

الدالة $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ تقبل دوالا أصلية على $]0,+\infty [$ لأنها متصلة على هذا المجال.

تعريف دالة اللوغاريتم النيبيري

الدالة الأصلية للدالة $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ على المجال $]0,+\infty [$ ، والتي تنعدم في $1$ تسمى دالة اللوغاريتم النيبيري، ويُرمز لها بالرمز $\ln$

لازمة

مجموعة تعريف الدالة $\ln$ هي $]0,+\infty [$
$\ln 1=0$
الدالة $\ln$ متصلة وقابلة للاشتقاق على المجال $]0,+\infty [$ ودالتها المشتقة هي الدالة $x\mapsto {\frac {1}{x}}$
الدالة $\ln$ تزايدية قطعا على $]0,+\infty [$
الدالة $\ln$ تقابل من المجال $]0,+\infty [$ نحو صورته بهذه الدالة.
لكل عددين حقيقيين موجبين قطعا $x$ و $y$ لدينا : ${\begin{aligned}\ln x=\ln y&\iff x=y\\\ln x>\ln y&\iff x>y\\\ln x>0&\iff x>1\\\ln x<0&\iff 0<x<1\end{aligned}}$

خاصية أساسية

لكل $x$ و $y$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ لدينا : $\ln(xy)=\ln x+\ln y$

خاصية

لكل عددين حقيقيين موجبين قطعا $x$ و $y$ ولكل $r$ من $\mathbb {Q} ^{*}$ ، لدينا :

$\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\ln x$ و $\ln \left({\frac {x}{y}}\right)=\ln x-\ln y$ و $\ln(x^{r})=r\ln x$

ملاحظات :

إذا كانت $a_{1}$ و $a_{2}$ و ... و $a_{n}$ أعداد حقيقية موجبة قطعا فإن : $\ln \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\ln(a_{i})$
لكل عددين حقيقيين سالبين قطعا $x$ و $y$ لدينا : $\ln(xy)=\ln(-x)+\ln(-y)$ و $\ln \left({\frac {x}{y}}\right)=\ln(-x)-\ln(-y)$ و $\ln(x^{2})=2\ln x$

نهاية $\ln$ عند $+\infty$ وعلى اليمين في صفر

خاصية

$\lim _{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty$
$\lim _{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty$

خاصية

الدالة $\ln$ تقابل من المجال $]0,+\infty [$ نحو $\mathbb {R}$

نهايات لوغاريتمية أساسية أخرى

خاصية

$\lim _{x\to 0^{+}}x\ln(x)=0$
$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}=0$
$\lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1$
$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
$\lim _{x\to 0^{+}}x^{n}\ln(x)=0$
$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x^{n}}}=0$

العدد $e$

الدالة $\ln$ تقابل من $\mathbb {R} ^{+*}$ نحو $\mathbb {R}$ ، إذن المعادلة $\ln(x)=1$ تقبل حلا وحيدا في $\mathbb {R} ^{+*}$ . يُرمز لهذا الحل بالحرف $e$

لدينا إذن : $\ln(e)=1$ و $\ln(x)=1\iff x=e$

نقبل أن العدد $e$ ليس جذريا ( $e\notin \mathbb {Q}$ ) وقيمة مقربة له هي 2.71828

ملاحظة : لكل $r$ من $\mathbb {Q}$ لدينا : $\ln(e^{r})=r$

التمثيل المبياني للدالة $\ln$

لدينا $\lim _{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty$ ، إذن منحنى الدالة $\ln$ يقبل محور الأراتيب كمُقارب رأسي.

ولدينا $\lim _{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty$ و $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}=0$ ، إذن منحنى الدالة $\ln$ يقبل اتجاه محور الأفاصيل كاتجاه مقارب.

منحنى الدالة $\ln$ يمر بالخصوص من النقطتين $A(1,0)$ و $B(e,1)$

المشتقة اللوغاريتمية

خاصية

إذا كانت $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ ولا تنعدم على $I$ ، فإن الدالة $f:x\mapsto \ln |u(x)|$ قابلة للاشتقاق على $I$ ولدينا : $f'(x)={\frac {u'(x)}{u(x)}}$ لكل $x$ من $I$

الدالة ${\frac {u'}{u}}$ تسمى المشتقة اللوغاريتمية للدالة $u$ على المجال $I$

لازمة

لتكن $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ ولا تنعدم على $I$ ،

الدوال الأصلية للدالة $x\mapsto {\frac {u'(x)}{u(x)}}$ على $I$ هي الدوال $x\mapsto \ln |u(x)|+c$ حيث $c$ عدد حقيقي ثابت.

دالة اللوغاريتم للأساس $a$

تعريف

ليكن $a$ عددا حقيقيا موجبا قطعا ويخالف $1$

الدالة $x\mapsto {\frac {\ln x}{\ln a}}$ المعرفة على $]0,+\infty [$ تسمى دالة اللوغاريتم للأساس $a$ ، ويُرمز لها بالرمز $\log _{a}$

مثال : لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ لدينا : $\log _{7}(x)={\frac {\ln x}{\ln 7}}$

ملاحظات :

دالة اللوغاريتم النيبيري هي دالة اللوغاريتم للأساس $e$ لأن : $\log _{e}x={\frac {\ln x}{\ln e}}={\frac {\ln x}{1}}=\ln x$ لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$
$\log _{a}a=1$ و $\log _{a}1=0$
لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ لدينا : $\log _{a}'(x)={\frac {1}{x\ln a}}$
إذا كان $a>1$ فإن الدالة $\log _{a}$ تزايدية قطعا على $\mathbb {R} ^{+*}$ ، وإذا كان $0<a<1$ فإن الدالة $\log _{a}$ تناقصية قطعا على $\mathbb {R} ^{+*}$

خاصية

لكل عددين حقيقيين موجبين قطعا $x$ و $y$ ولكل عدد جذري غير منعدم $r$ لدينا :

${\begin{aligned}\log _{a}\left({\frac {1}{x}}\right)&=-\log _{a}(x)\qquad &\log _{a}(xy)&=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)\\\log _{a}(x^{r})&=r\log _{a}(x)\qquad &\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)&=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)\end{aligned}}$

اللوغاريتم العشري

تعريف

الدالة اللوغاريتمية التي أساسها $10$ تسمى دالة اللوغاريتم العشري ويُرمز لها بالرمز $\log$

ملاحظات :

لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ : $\log(x)={\frac {\ln x}{\ln 10}}$
$\log 1=0$ و $\log 10=1$
لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ ولكل $r$ من $\mathbb {Q}$ : $\log(x)=r\iff x=10^{r}$

في الكيمياء، يُعَرَّف $\mathrm {pH}$ محلول بالعلاقة $\mathrm {pH} =-\log[\mathrm {H} ^{+}]$ حيث $[\mathrm {H} ^{+}]$ يمثل تركيز أيونات الهيدروجين في المحلول.