تحليل رياضي/الدوال الأسية

الدالة الأسية النيبيرية

دالة اللوغاريتم النيبيري $\ln$ تقابل من $\mathbb {R} ^{+*}$ نحو $\mathbb {R}$

تعريف الدالة الأسية النيبيرية

الدالة العكسية للدالة $\ln$ تسمى الدالة الأسية النيبيرية ويُرمز لها بالرمز $\exp$

ليكن $r$ عددا جذريا، لدينا : $\ln(\exp(r))=r$ ونعلم أن : $\ln(e^{r})=r\ln e=r$ إذن : $\ln(\exp(r))=\ln(e^{r})$

وبالتالي : $\exp(r)=e^{r}$ لكل $r$ من $\mathbb {Q}$

نمدد هذه الكتابة إلى المجموعة $\mathbb {R}$ فنكتب : $\exp(x)=e^{x}$ لكل $x$ من $\mathbb {R}$ .

لازمة

الدالة $\exp$ معرفة ومتصلة على $\mathbb {R}$
لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $e^{x}>0$
لكل $x$ من $\mathbb {R}$ ولكل $y$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ : $e^{x}=y\iff x=\ln y$
لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $\ln(e^{x})=x$ ولكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ : $e^{\ln x}=x$
الدالة $\exp$ تزايدية قطعا على $\mathbb {R}$
لكل عددين حقيقيين $x$ و $y$ ، لدينا : $e^{x}=e^{y}\iff x=y$ و $e^{x}<e^{y}\iff x<y$
لكل عدد حقيقي $x$ ، لدينا : $e^{x}=1\iff x=0$ و $e^{x}>1\iff x>0$ و $e^{x}<1\iff x<0$

خاصيات جبرية للدالة $\exp$

خاصية

لكل عددين حقيقيين $x$ و $y$ ولكل عدد جذري $r$ ، لدينا :

${\begin{aligned}e^{x-y}&={\frac {e^{x}}{e^{y}}}\qquad &e^{x+y}&=e^{x}e^{y}\\(e^{x})^{r}&=e^{rx}\qquad &e^{-x}&={\frac {1}{e^{x}}}\end{aligned}}$

نهايات هامة

خاصية

$\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0$
$\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$
$\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}=+\infty$
$\lim _{x\to -\infty }xe^{x}=0$
$\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$

خاصية

لكل $n$ من $\mathbb {N} ^{*}$ لدينا : $\lim _{x\to -\infty }x^{n}e^{x}=0$ و $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{n}}}=+\infty$

التمثيل المبياني للدالة $\exp$

بما أن الدالة $\exp$ هي الدالة العكسية للدالة $\ln$ فإن منحنى الدالة $\exp$ في معلم متعامد ممنظم، هو مماثل منحنى الدالة $\ln$ بالنسبة للمستقيم الذي معادلته $y=x$ (المنصف الأول للمعلم).
منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأفاصيل كمقارب أفقي بجوار $-\infty$ (لأن $\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0$ )
منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأراتيب كاتجاه مقارب بجوار $+\infty$ (لأن $\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$ و $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}=+\infty$ )
المستقيم ذو المعادلة $y=x+1$ هو المماس لمنحنى الدالة $\exp$ في النقطة $J(0,1)$

مشتقة الدالة الأسية النيبيرية

خاصية

الدالة $\exp$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R}$ ولدينا لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $\exp '(x)=e^{x}$

$\exp '=\exp$

ملاحظة : الدالة التآلفية $x\mapsto x+1$ هي تقريب للدالة $\exp$ بجوار $0$ أي : $e^{x}\simeq x+1$ بجوار $0$

مشتقة الدالة $x\mapsto e^{u(x)}$

خاصية

إذا كانت دالة $u$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$

فإن الدالة $f:x\mapsto e^{u(x)}$ قابلة للاشتقاق على $I$ ولدينا لكل $x$ من $I$ : $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$

لازمة

لتكن $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$

الدوال الأصلية للدالة $x\mapsto u'(x)e^{u(x)}$ على $I$ هي الدوال $x\mapsto e^{u(x)}+c$ حيث $c$ عدد حقيقي ثابت.

الدالة الأسية للأساس $a$

ليكن $a$ عنصرا من $\mathbb {R} ^{+*}\smallsetminus \{1\}$ ، الدالة $\log _{a}$ تقابل من $\mathbb {R} ^{+*}$ نحو $\mathbb {R}$

تعريف

الدالة العكسية للدالة $\log _{a}$ تسمى الدالة الأسية للأساس $a$ ويُرمز لها بالرمز $\exp _{a}$

كتابة أخرى للعدد $\exp _{a}(x)$

لكل $x$ من $\mathbb {R}$ ولكل $y$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ ، لدينا :

${\begin{aligned}x=\log _{a}(y)&\iff \exp _{a}(x)=y\\x={\frac {\ln y}{\ln a}}&\iff \exp _{a}(x)=y\\\ln y=x\ln a&\iff \exp _{a}(x)=y\\y=e^{x\ln a}&\iff \exp _{a}(x)=y\end{aligned}}$ إذن $\exp _{a}=e^{x\ln a}$ لكل $x$ من $\mathbb {R}$

ليكن $a$ عددا حقيقيا موجبا قطعا ويخالف $1$ . لكل $r$ من $\mathbb {Q}$ لدينا $\exp _{a}(r)=e^{r\ln a}=\left(e^{\ln a}\right)^{r}$ أي : $\exp _{a}(r)=a^{r}$ نمدد هذه الكتابة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية فنكتب لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $\exp _{a}(x)=a^{x}$

ملاحظة : يمكن في الكتابة $a^{x}$ اعتبار الحالة $a=1$ فيكون لدينا : $1^{x}=1$ لكل $x$ من $\mathbb {R}$

خاصيات جبرية للدالة $\exp _{a}$

خاصية

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين قطعا. لكل $x$ و $y$ من $\mathbb {R}$ لدينا :

$a^{x+y}=a^{x}+a^{y}$
$a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}$
$a^{x-y}={\frac {a^{x}}{a^{y}}}$
$(a^{x})^{y}=a^{xy}$
$(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}={\frac {a^{x}}{b^{x}}}$

مشتقة الدالة $\exp _{a}$

خاصية

الدالة $\exp _{a}$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R}$ ولدينا لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $(\exp _{a})'(x)=(\ln a).a^{x}$

ملاحظة : إذا كان $a>1$ فإن الدالة $\exp _{a}$ تزايدية قطعا على $\mathbb {R}$ ، وإذا كان $0<a<1$ فإن الدالة $\exp _{a}$ تناقصية قطعا على $\mathbb {R}$