تحليل رياضي/الاشتقاق

القابلية للاشتقاق

قابلية اشتقاق دالة في عدد

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق في العدد $a$ إذا وُجِدَ عدد حقيقي $\ell$ بحيث : $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell$

العدد $\ell$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز $f'(a)$

تعريف

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق في عدد حقيقي $a$

• المستقيم الذي معادلته : $y=f'(a).(x-a)+f(a)$ يسمى مماس منحنى الدالة $f$ في النقطة التي أُفصولها $a$
• الدالة $x\mapsto f'(a).(x-a)+f(a)$ تسمى التقريب التآلفي للدالة $f$ بجوار العدد $a$

ونكتب : $f(x)\simeq f'(a).(x-a)+f(a)$ بجوار $a$ ، أو $f(a+h)\simeq h.f'(a)+f(a)$ بجوار $0$

قابلية الاشتقاق على اليمين - قابلية الاشتقاق على اليسار

تعريف : قابلية الاشتقاق على اليمين

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $[a,a+r[$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين في $a$ إذا وُجِد عدد حقيقي $\ell _{1}$ بحيث : $\lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell _{1}$

العدد $\ell _{1}$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ على اليمين في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز $f_{d}'(a)$ ونكتب $f_{d}'(a)=l_{1}$

تعريف : قابلية الاشتقاق على اليسار

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $]a-r,a]$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على اليسار في $a$ إذا وُجِد عدد حقيقي $\ell _{2}$ بحيث : $\lim _{x\to a^{-}}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell _{2}$

العدد $\ell _{2}$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ على اليسار في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز $f_{g}'(a)$ ونكتب $f_{g}'(a)=l_{2}$

خاصية

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$

تكون $f$ قابلة للاشتقاق في العدد $a$ إذا وفقط إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين وعلى اليسار في $a$ و $f_{d}'(a)=f_{g}'(a)$

قابلية اشتقاق دالة على مجال

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $[a,b]$ ($a<b$)

• نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ إذا كانت قابلة للاشتقاق في كل عدد من $]a,b[$
• الدالة التي تربط كل عدد $x$ من $]a,b[$ بالعدد المشتق $f'(x)$ تسمى الدالة المشتقة للدالة $f$ على المجال $]a,b[$ ، ويُرمَزُ لها بالرمز $f'$
• نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على القطعة $[a,b]$ إذا كانت قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ ، وقابلة للاشتقاق على اليمين في $a$ وعلى اليسار في $b$

مشتقات بعض الدوال الاعتيادية

مشتقات بعض الدوال الاعتيادية

الدالة $f$	قابلة للاشتقاق على	الدالة المشتقة $f'$
$x\mapsto k,(k\in \mathbb {R} )$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto 0$
$x\mapsto ax,(a\in \mathbb {R} ^{*})$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto a$
$x\mapsto x^{n},(n\in \mathbb {N} ^{*})$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto nx^{n-1}$
$x\mapsto {\frac {1}{x}}$	$\mathbb {R} ^{-*}$ أو $\mathbb {R} ^{+*}$	$x\mapsto {\frac {-1}{x^{2}}}$
$x\mapsto {\sqrt {x}}$	$\mathbb {R} ^{+*}$	$x\mapsto {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
$x\mapsto \cos(x)$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto -\sin(x)$
$x\mapsto \sin(x)$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto \cos(x)$
$x\mapsto \tan(x)$	$\left]-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right[,k\in \mathbb {Z}$	$x\mapsto 1+\tan ^{2}{x}={\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}$
$x\mapsto \cos(ax+b),(a\in \mathbb {R} ^{*})$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto -a\sin(ax+b)$
$x\mapsto \sin(ax+b),(a\in \mathbb {R} ^{*})$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto a\cos(ax+b)$

الكتابة التفاضلية

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح، وإذا وضعنا $y=f(x)$ ، فإنه يمكن استعمال الكتابة التفاضلية: $f'(x)={\frac {dy}{dx}}$ أو $dy=f'(x)dx$

في مادة الفيزياء، إذا كانت $x$ دالة للمتغير $t$ بحيث $x={\frac {1}{2}}t^{2}+3t+1$ فإننا نكتب : ${\frac {dx}{dt}}=t+3$

العمليات على الدوال القابلة للاشتقاق

خاصية

لتكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال $I$ و $\alpha$ عددا حقيقيا. لدينا :

• $(u+v)'=u'+v'$ و $(\alpha .u)'=\alpha .u'$ و $(u.v)'=u'.v+u.v'$ و $(u^{n})'=nu'.u^{n-1}$ حيث $n\in \mathbb {N} ^{*}$
• إذا كانت $v(x)\neq 0$ لكل $x$ من $I$ فإن : $\left({\frac {1}{v}}\right)'=-{\frac {v'}{v^{2}}}$ و $\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$

الاشتقاق والاتصال

خاصية

لتكن $f$ دالة و $a$ عنصرا من مجموعة تعريفها. إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ فإن $f$ متصلة في $a$

ملاحظتان :

• نتيجة لهذه الخاصية، كل دالة قابلة للاشتقاق على مجال هي دالة متصلة على هذا المجال.
• عكس هذه الخاصية غير صحيح، فدالة القيمة المطلقة المعرفة على $\mathbb {R}$ بما يلي : $x\to |x|$ متصلة في صفر، لكنها غير قابلة للاشتقاق في هذا العدد.

مشتقة مركب دالتين

خاصية

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ و $g$ دالة معرفة على مجال مفتوح $J$ بحيث $f(I)\subset J$ وليكن $a$ عنصرا من المجال $I$

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ و $g$ قابلة للاشتقاق في $f(a)$، فإن الدالة $g\circ f$ قابلة للاشتقاق في $a$

لازمة

إذا كانت $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ و $g$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $J$ بحيث $f(I)\subset J$

فإن الدالة $g\circ f$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ ، ولدينا لكن $x$ من $I$ : $(g\circ f)'(x)=f'(x).g'(f(x))$

مشتقة الدالة العكسية

خاصية

لتكن $f$ تقابلا من مجال $I$ نحو مجال $J$ و $f^{-1}$ تقابلها العكسي. وليكن $a$ عنصرا من $I$ و $b$ عنصرا من $J$ بحيث $f(a)=b$

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ و $f'(a)\neq 0$

فإن $f^{-1}$ قابلة للاشتقاق في $b$ ولدينا : $(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(a)}}$

لازمة

لتكن $f$ تقابلا من مجال $I$ نحو مجال $J$ و $f^{-1}$ تقابلها العكسي.

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ و $f'$ لا تنعدم على المجال $I$

فإن $f^{-1}$ قابلة للاشتقاق على المجال $J$ ولدينا لكل $x$ من $J$ : $(f^{-1})'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}$

مشتقة دالة قوس الظل

خاصية

• الدالة $\arctan$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R}$ ولدينا لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $\arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$
• إذا كانت $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ فإن الدالة $x\mapsto \arctan(u(x))$ قابلة للاشتقاق على $I$ و دالتها المشتقة هي الدالة : $x\mapsto {\frac {u'(x)}{1+(u(x))^{2}}}$

مشتقة دالة الجذر من الرتبة n

مشتقة الدالة $x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$

خاصية

ليكن $n$ عددا صحيحا طبيعيا أكبر من $1$

الدالة $f:x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R} ^{+*}$ ولدينا لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ : $f'(x)={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}$

مشتقة الدالة $x\mapsto {\sqrt[{n}]{u(x)}}$

خاصية

ليكن $n$ عددا صحيحا طبيعيا أكبر من $1$

إذا كانت الدالة $u$ قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال $I$، فإن الدالة $f:x\mapsto {\sqrt[{n}]{u(x)}}$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ ولدينا لكل $x$ من $I$ : $f'(x)={\frac {1}{n}}u'(x).(u(x))^{{\frac {1}{n}}-1}={\frac {u'(x)}{n{\sqrt[{n}]{(u(x))^{n-1}}}}}$

مشتقات الدوال $x\mapsto x^{r}$ و $x\mapsto (u(x))^{r}$ حيث $r\in \mathbb {Q} ^{*}$

خاصية

ليكن $r$ عددا جذريا غير منعدم.

• الدالة $x\mapsto x^{r}$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R} ^{+*}$ ومشتقتها هي الدالة $x\mapsto rx^{r-1}$
• إذا كانت دالة $u$ قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال $I$، فإن الدالة $f:x\mapsto (u(x))^{r}$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ ولدينا لكل $x$ من $I$ : $f'(x)=r.u'(x).(u(x))^{r-1}$

مبرهنة رول - مبرهنة التزايدات المنتهية

مبرهنة رول

مبرهنة

إذا كانت دالة $f$ متصلة على قطعة $[a,b]$ وقالبة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ و $f(a)=f(b)$

فإنه يوجد على الأقل عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f'(c)=0$

هندسيا، وجود عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f'(c)=0$ يعني أن منحنى الدالة $f$ على $[a,b]$ له على الأقل مماس مواز لمحور الأفاصيل.

مبرهنة التزايدات المنتهية

مبرهنة

إذا كانت دالة $f$ متصلة على قطعة $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$

فإنه يوجد $c$ من $]a,b[$ بحيث : $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$

هندسيا، وجود عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ يعني أن لمنحنى الدالة $f$ على الأقل مماسا موازيا للمستقيم المار من النقطتين $A(a,f(a))$ و $B(b,f(b))$

متفاوتة التزايدات المنتهية

خاصية

إذا كانت دالة $f$ متصلة على قطعة $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ ، وإذا وُجِدَ عددان حقيقيان $\alpha$ و $\beta$ بحيث $\alpha \leq f'(x)\leq \beta$ لكل $x$ من $]a,b[$

فإن : $\alpha (a-b)\leq f(b)-f(a)\leq \beta (b-a)$

لازمة

إذا كانت دالة $f$ متصلة على $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على $]a,b[$ ، وإذا وُجِدَ عدد حقيقي موجب $k$ بحيث : $(\forall t\in ]a,b[)\quad |f'(t)|\leq k$

فإنه لكل $x$ و $y$ من $]a,b[$ : $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|$

رتابة دالة عددية

خاصية

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$

• تكون $f$ ثابتة على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\forall x\in I)\quad f'(x)=0$
• تكون $f$ تزايدية على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\forall x\in I)\quad f'(x)\geq 0$
• تكون $f$ تناقصية على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\forall x\in I)\quad f'(x)\leq 0$

ملاحظة : إذا كانت $(\forall x\in I)\quad f'(x)\geq 0$ والمتساوية $f'(x)=0$ محققة فقط بالنسبة لأعداد معزولة من المجال $I$ فإن الدالة $f$ تزايدية قطعا على $I$

انظر أيضا

• الاتصال
• دراسة الدوال العددية
• الدوال الأصلية
• التكامل
• المعادلات التفاضلية
• نهاية متتالية