تحليل رياضي/الاتصال
اتصال دالة في نقطة
عدل
إذا كانت الدالة غير متصلة في فإننا نقول إنها منقطعة في
الاتصال على اليمين - الاتصال على اليسار
عدللتكن دالة معرفة على مجال من النوع حيث عدد حقيقي موجب قطعا.
نقول إن متصلة على اليمين في إذا كان :
لتكن دالة معرفة على مجال من النوع حيث عدد حقيقي موجب قطعا.
نقول إن متصلة على اليسار في إذا كان :
لتكن دالة معرفة على مجال مفتوح وليكن عنصرا من
تكون متصلة في إذا وفقط إذا كانت متصلة على اليمين وعلى اليسار في
دالة الجزء الصحيح
عدلدالة الجزء الصحيح هي الدالة التي تربط كل عدد حقيقي بالعدد الصحيح النسبي الوحيد الذي يحقق
يُرمَزُ لصورة بهذه الدالة بالرمز
- دالة الجزء الصحيح متصلة في كل عدد من
- دالة الجزء الصحيح متصلة على اليمين في كل عدد من وغير متصلة على اليسار في
التمديد بالاتصال
عدللتكن دالة عددية و مجموعة تعريفها. وليكن عددا حقيقيا بحيث
إذا كانت للدالة نهاية منتهية في العدد فإن الدالة المعرفة بما يلي متصلة في
الاتصال على مجال
عدل- نقول إن دالة متصلة على مجال مفتوح إذا كانت متصلة في كل عدد من
- نقول إن دالة متصلة على مجال مغلق إذا كانت متصلة على المجال المفتوح ومتصلة على اليمين في وعلى اليسار في
- كل دالة حدودية متصلة على
- كل دالة جذرية متصلة على كل مجال من مجموعة تعريفها.
- الدالتان و متصلتان على
- الدالة متصلة على
- الدالة متصلة على كل مجال من مجموعة تعريفها.
- إذا كانت و دالتين متصلتين على مجال فإن الدوال و و (مع ) دوال متصلة على
- إذا كانت و دالتين متصلتين على مجال و لكل من فإن الدالة متصلة على
اتصال مركب دالتين
عدللتكن دالة معرفة على مجال ، و دالة معرفة على مجال بحيث ، وليكن عنصرا من
إذا كانت متصلة في و متصلة في فإن الدالة متصلة في
ومنه إذا كانت متصلة على و متصلة على فإن الدالة متصلة على
مركب دالة متصلة ودالة تقبل نهاية
عدللتكن دالة معرفة على مجال مفتوح منقط مركزه ، و دالة معرفة على مجال مفتوح مركزه بحيث
إذا كان و متصلة في العدد فإن :
ملاحظة: باعتبار مجال مناسب ،
- إذا كان و متصلة في فإن
- إذا كان و متصلة في فإن
- وبالمثل بالنسبة للنهاية على اليسار في والنهاية عند .
صورة مجال بدالة متصلة
عدلتذكير: المجال هو جزء من بحيث لكل و من القطعة توجد ضمن
ملاحظات:
- اتصال دالة هو شرط كاف لكي تكون صورة مجال هي مجال، لكن هذا الشرط ليس لازما، إذ يمكن أن تكون صورة مجال بدالة غير متصلة عليه هي أيضا مجال.
- المجالان و ليسا دائما من نفس النوع، فصورة المجال نصف المغلق مثلا بالدالة هي القطعة
- إذا كان المجال قطعة، فإن لدينا الخاصية التالية:
مبرهنة القيم الوسيطية
عدلإذا كانت دالة متصة على قطعة ، فإن لكل عدد حقيقي محصور بين و ، يوجد على الأقل عدد حقيقي من المجال بحيث
حالة خاصة لمبرهنة القيم الوسيطية
عدل
الدالة العكسية لدالة متصلة ورتيبة قطعا
عدل
خاصيات الدالة العكسية
عدلإذا كانت دالة متصلة ورتيبة قطعا على مجال فإن تقبل دالة عكسية :
- الدالة معرفة ومتصلة على المجال
- الدالة رتيبة قطعا على ولها نفس منحى تغيير
- منحنى ومنحنى ، في معلم متعامد ممنظم، متماثلان بالنسبة للمستقيم ذي المعادلة
دالة قوس الظل
عدل
- الدالة معرفة من نحو
- لكل من ولكل من لدينا :
- الدالة متصلة وتزايدية قطعا على
- و
- و
- الدالة فردية (لكل من : )
دالة الجذر من الرتبة
عدلليكن عنصرا من
دالة الجذر من الرتبة هي الدالة العكسية لقصور الدالة على
يُرمز لصورة عدد حقيقي موجب بدالة الجذر من الرتبة بالرمز ويُقرأ الجذر من الرتبة للعدد
ولدينا لكل و من :
العمليات على الجذور من الرتبة
عدل
اتصال ونهاية مركب دالة ودالة الجذر من الرتبة
عدللتكن دالة معرفة وموجبة على مجال و عنصرا من
- إذا كانت متصلة على فإن الدالة متصلة على
- إذا كان فإن :
- إذا كان فإن :
القوة الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا
عدلليكن عددا حقيقيا موجبا قطعا و عددا جذريا غير منعدم حيث و
العدد هو العدد ويسمى القوة الجذرية للعدد ذات الأس
العمليات على القوى الجذرية
عدل
ملاحظة : القوى الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا لها نفس خاصيات القوى الصحيحة لعدد حقيقي غير منعدم.
انظر أيضا
عدلهناك ملفات عن Continuity (functions) في ويكيميديا كومنز. |