ميكانيكا كلاسيكية/حساب التفاضل:الإشتقاق

الإشتقاق

الإشتقاق هو البحث عن معدل التغير

للمزيد من التفاصيل طالع مقالة ويكيبيديا: اشتقاق (رياضيات).

كما ذكرنا سابقاً السرعة هي معدل تغير المسافة. لنأخذ مثالاً، سيارةً تسير بسرعة ثابتة وهي 60 كيلومتراً في الساعة، يمكننا تمثيل العلاقة بين المسافة والزمن كما هو مبين في المخطط أدناه (ش. 14).

(ش. 14) العلاقة بين المسافة والزمن لجسم يسير بسرعة 60 كيلومتراً في الساعة.

(ش. 15) الإنحدار = معدل التغير.

يوضح هذا المستقيم البياني أن المسافة تزداد خطياً منذ البداية بنسبة 60 كيلومتراً في كل ساعة. هذا يعني مثلاً أنه بعد مرور 3 ساعات من السير ستقطع السيارة 180 كيلومتراً. لاحظ أن الإنحدار (slope) هنا أيضاً ثابت طيلة الرحلة. وهذا يعني أن العلاقة بين أي مسافة مقطوعة (Δx) والمدة الزمنية اللازمة لفعل ذلك (Δt) مساوية لستين. بعبارة أخرى، أن نقول بأن السيارة تقطع 50 متراً في كل ثلاث ثوان، أو كيلومتراً كل دقيقة، أو180 كيلومتراً كل ثلاث ساعات أو525600 كيلومتراً كل سنة، ... تدل على أمر واحد (ش. 15). ففي هذا المثال معدل التغير ثابت مع الزمن:

${\mbox{Slope}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\mbox{constant}}.$

(الحرف الإغريقي دلتا (Δ) هو اختصار لعبارة "تغير في")

أنت تعرف طبعاً أنه عندما تنطلق السيارة من مربضها، فإنها لا تستطيع أن تقفز في لحضة من صفر إلى 60 كيلومتراً في الساعة، بل تحتاج لوقت معين لبلوغ هذه السرعة. فكلما يتم الضغط على دواسة البنزين ترتفع السرعة تدريجياً، وعادة يتم ذلك بمعدل ثابت (أي أن السائق في البداية يضغط بقوة على دواسة البزين لكي يستطيع الإسراع، ثم يخفف من الضغط تدريجياً). وفي أثناء سيرها ستُرَفِعُ السيارة سرعتها في طريق سريعة، أو تُخفف منها عند المنعرجات أو في زحمة المرور، كما ستتوقف عدة مرات عند ضوء مروري أحمر، وقد تغير اتجاهها أيضاً. في هذا المثال، نرى بأن معدل التغير (الذي تمثله السرعة) غير ثابت فهو يتغير مع الوقت. عندما نقوم في هذه الحالة بتمثيل العلاقة بين المسافة والزمن فإننا سنحصل على سبيل المثال على شيء يشبه المخطط أسفله (ش. 16). أنت ترى الآن أن الإنحدار في هذا المنحنى يتغير من لحضة لأخرى في الزمن طوال المسار.

(ش. 16)

(ش. 17)

عند الانطلاق، الإنحدار الممثل بقطعة مستقيم مماسة للمنحنى يبدأ بالارتفاع تدريجياً (فكر بالأمر كأنك تركب لوحة تزلج فوق الأمواج ش. 17). بالتحديد عند نقطة (A) من المسار، الإنحدار موجب وهو ينخفض تدريجياً، فمعدل تغير المسافة كان ثابتاً وهو ينخفض تدريجياً. في نقطة (B)، الإنحدار يساوي صفرًا وهذا يعني التوقف. في لحضة أخرى (C)، الإنحدار سالب وهو يزيد حدة، وهذا يعني أن اتجاه الحركة قد تغير رجوعاً وأن معدل تغير المسافة يرتفع.

الإنحِدارُ في كل نُقطة من مُنحنى يُمثل الدَالَة، يُنبؤنا بمعدل تَغير الكِمية في تِلك النُقطة.

الإشتقاق حسب المبدأ الأول

للمزيد من التفاصيل طالع مقالة ويكيبيديا: نهاية رياضية.

لنقم الآن بتعميم الأمر بصيغته الرياضية، لنفترض أن هناك دالة (f(x متغيرة في عدد حقيقي (x). ما هو معدل التغير في هذه الدالة في كل نقطة (x) (كأن نقول ماهي السرعة في كل لحضة من الزمن) ؟

معدل التغير في نقطة ما، لنقل مثلاً (A)، هو كما قلنا إنحِدارُ الدالة في تلك النقطة. حسناً ولكن ماهي قيمته ؟

(ش. 18)

علينا هنا القيام بالتقريب وذلك باختيار نقطة أخرى في مكان ما قريب من (A)، لنتحصل على نقطتين نستطيع من خلالهما إيجاد قيمة الإنحدار. أي أننا سنقوم برسم مستقيم مقاطع (Secant) للمنحنى في نقطتين (A) و(B) إحداثياتهما تباعاً ((x, f(x) و((x+h, f(x+h) كما هو مبين في الصورة المقابلة (ش. 18). لقد قمنا هنا بإضافة مقدار صغير جداً (h)، وهو تغير بسيط (Δx) انطلاقاً من النقطة (x).

سنفترض الآن أن هذا التغير بقدر من الصغر بحيث أن إنحدار المسقيم المقاطع للمحنى في (A) و(B) هو تقريبا مساوٍ لإنحدار المستقيم المماس في (A)، أي أننا لا نكاد نميز بين هاتين النقطتين والدالة بينهما تكاد لا تتغير. في هذه الحالة يمكننا أن نكتب في (أ):

${\mbox{Secant}}\,{\mbox{slope}}={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

(التغير في الدالة على التغير في نقطة من الدالة هو تقريباً إنحدار المسقيم المقاطع لمحنى الدالة في نقطتين متناهيتي القرب)

إذا كان الفرق بين هاتين النقطتين في العبارة (أ)، متناهي الصغر ويتوق إلى صفر (h → 0) فالإشتقاق يعرف على أنه حدُ (أو نهاية) (Limit) هذه العلاقة، ويكتب :

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}.$

(إشتقاق الدالة في النقطة (x) هو (f'(x و(lim) هي اختصار لفظة "حد")

تسمى هذه الطريقة بالإشتقاق حسب المبدأ الأول (Differentiation from first principles). يمكننا كتابة ذلك أيضاً بطريقة يحبذها الفيزيائيون كما يلي، والأمر سيان:

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}.$

(حيث (y = f(x وإشتقاق الدالة (dy/dx = f'(x ؛ dx تعني تغيراً متناهي الصغر في x)

لنأخذ الآن مثالاً بسيطاً لحساب إشتقاق دالة من خلال مارأيناه لغاية الآن. لتكن الدالة التالية متغيرة في (x):

$f(x)=2x^{2}+x.\,$ (ب)

سنضيف كما قلنا كمية متناهية في الصغر (h) للمتغير (x)، إذن:

$f(x+{\color {red}h})=2(x+{\color {red}h})^{2}+(x+{\color {red}h}).\,$

نقوم بالنّشر:

$f(x+h)=2(x^{2}+2hx+h^{2})+x+h\,$

$f(x+h)=2x^{2}+4hx+2h^{2}+x+h.\,$

(ش. 19)

إشتقاق الدالة في (x) يكتب على أنه:

.${\frac {dy}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

نعوض بالقيم أعلاه، فنتحصل على:

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(2x^{2}+4hx+2h^{2}+x+h)-(2x^{2}+x)}{h}}$

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {4hx+2h^{2}+h}{h}}$

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{\color {red}{h\to 0}}4x+2{\color {red}h}+1.$

وهكذا فإن إشتقاق الدالة هو:

${\frac {dy}{dx}}=4x+1.$ (ج)

لقد وجدنا هنا عبارة تمكننا من حساب الإنحدار في أي نقطة من منحنى هذه الدالة (ش. 19)، وبالتالي معدل التغير في هذه الدالة. على سبيل المثال، في نقطة معينة مثل (B) حيث (x=0)، المنحدر يساوي 1. مالذي يعنيه هذا ؟

لنقل أن القانون (ب) يصف حركة جسم بحيث يكون موقعه محدداً في كل لحظة بما يلي:

$x(t)=2t^{2}+t.\,$

(x تمثل هنا موقع الجسم وt الزمن)

سرعته في كل وقت هي إذن إشتقاق هذه الدالة بالنسبة للزمن (حسب ج):

$v(t)={\frac {dx}{dt}}=4t+1.$

(v هي سرعة الجسم)

يكفي هنا أن أعرف الوقت لأقول ماهي سرعة الجسم. مثلاً في النقطة ((B (0,0) (أي النقطة التي قمنا باختيارها كمرجع للزمان والمكان ش. 19) السرعة هي واحد (والأمر يبقى رهن وحدة قياس هذه السرعة). سأترك لك الأمر الآن لتعرف ما هي السرعة في النقاط (A) و(C). سؤال:

مشتقات دوال معروفة

للمزيد من التفاصيل طالع مقالة ويكيبيديا: اشتقاق (رياضيات)#مشتقات بعض الدوال المعروفة.

من حسن حظنا فإن أغلب الظواهر التي سنراها في الميكانيكا الكلاسيكية تتبع قوانين تكون إما على شكل دوال معروفة أو مركبة من دوال معروفة. بطريقة عملية، لن نقوم دائماً بإجراء الإشتقاق حسب المبدأ الأول (كما رأينا في المثال أعلاه) وإنما تكون مشتقات الدوال البسيطة معروفة سلفا،ً حيث ليس علينا للحصول على مشتقات دوال أكثر تعقيداً، سوى استخدام هذه القواعد (التي تكتسب في الغالب بالمران). لن نستعرض كافة هذه القواعد هنا ولكننا سنلقي الضوء على تلك التي سنستعملها بكثرة:

1. مشتق قيمة ثابتة هو صفر.

2. مشتق دالة الهوية (f(x)=x) هو واحد.

$(x)'=1\,$

3. مشتق جداء معامل ثابت بمتغير هو العامل الثابت بذاته.

$(ax)'=a\,$

4. مشتق مقلوب متغير هو سالب مقلوب تربيع المتغير بذاته (انظر أدناه لماذا).

$\left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}\,$ مع كون $x\,\in \mathbb {R} ^{*}$

5. مشتق الجذر التربيعي لمتغير هو مقلوب مرتين من الجذر التربيعي بذاته.

$\left({\sqrt {x}}\right)'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\,$ مع كون $x\,\in \mathbb {R} _{+}^{*}$

6. مشتق متغير بأس ثابت، هو جداء قيمة الأس بالمتغير، بأس منقوص بدرجة (يمكنك من خلالها إستنتاج السابقتين 4 و5).

$(ax^{n})'=nax^{n-1}\,$ مع كون $n\,\in \mathbb {N} ^{*}$

خاصيات الإشتقاق

للمزيد من التفاصيل طالع مقالة ويكيبيديا: قواعد الاشتقاق.

هناك خاصيات بسيطة تساعد على حساب مشتقات الدوال المعقدة، سنتعرف على أهمها هنا.

لتكن الدوال: ((g(x) ،f(x) متغيرة في (x) ومشتقاتها على التوالي: ((g’(x) ،f’(x).

لتوضيح الأمر لن نكتب المتغير (x) في بعض الحالات ولكنه موجود ضمنياً. لن نتوسع أيضاً في تبسيط بعض الصيغ الجبرية.

1. المجموع (أو الخَطِيةُ): مشتق المجموع هو مجموع المشتقات.

$(f+g)'=f'+g'\,$

مثال: ${\frac {d}{dx}}({\color {Blue}x^{2}}+{\color {Red}5x}-{\color {OliveGreen}3})={\frac {d}{dx}}({\color {Blue}2x}+{\color {Red}5}-{\color {OliveGreen}0})$

(← دوال متعددة الحدود)

2. الجداء بعامل ثابت: إشتقاق جداء عامل ثابت بدالة هو جداء العامل الثابت بمشتق الدالة.

$(c\,f)'=c\,f'\,$ حيث $c\,$ هو عامل ثابت

مثال: ${\frac {d}{dx}}({\color {Blue}3}x^{2})={\color {Blue}3}\left({\frac {d}{dx}}(x^{2})\right)=6x$

3. الجداء: إشتقاق جداء دالتين هو مجموع جداء مشتق الأولى بذات الثانية وجداء ذات الأولى بمشتق الثانية.

$(f\cdot g)'=f'g+fg'\,$

مثال: ${\frac {d}{dx}}(({\color {Blue}2x^{2}+6x})({\color {Red}x^{3}+3x^{2}}))$

هنا الدالة الأولى $g(x)=({\color {Red}x^{3}+3x^{2}})\,$ والثانية $f(x)=({\color {Blue}2x^{2}+6x})\,$

إذن ${\frac {d(fg)}{dx}}=({\color {Blue}4x+6})({\color {Red}x^{3}+3x^{2}})+({\color {Blue}2x^{2}+6x})({\color {Red}3x^{2}+6x})\,$

4. المقلوب: إشتقاق مقلوب دالة هو سالب قسمة إشتقاقها على مربع ذات الدالة.

$\left({\frac {1}{f}}\right)'=-{\frac {f'}{f^{2}}}\,$

مثال: ${\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{\color {Blue}{\sqrt {x^{3}-2}}}}\right)=-{\frac {\color {Blue}{\frac {3x^{2}}{2{\sqrt {x^{3}-2}}}}}{x^{3}-2}}={\frac {-3x^{2}}{2({\sqrt {x^{3}-2}})^{3}}}$

(← 5 أعلاه كيفية إشتقاق الجذر التربيعي بالأزرق)

5. القسمة: إشتقاق قسمة دالتين هو الفرق بين جداء مشتق البسط بذات المقام، وجداء ذات البسط بمشتق المقام، كل بقسمة تربيع المقام.

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\,$

مثال: ${\frac {d}{dx}}\left({\frac {\color {Blue}2x^{3}}{\color {Red}4-x}}\right)={\frac {({\color {Blue}6x^{2}})({\color {Red}4-x})-{\color {Red}4}({\color {Blue}2x^{3}})}{({\color {Red}4-x})^{2}}}$

6. التركيب: إشتقاق دالة مركبة هو جداء إشتقاق المحتوية على ذات المحتواة بإشتقاق المحتواة.

$\left({\color {Blue}f(}{\color {Red}g(x)}{\color {Blue})}\right)'={\color {Blue}f'(}{\color {Red}g(x)}{\color {Blue})}\cdot {\color {Red}g'(x)}\,$

مثال: ${\frac {d}{dx}}({\color {Blue}\sin }{{\color {Blue}(}{\color {Red}3x^{2}}{\color {Blue})}})={\color {Red}6x}\,{\color {Blue}\cos {(}{\color {Red}3x^{2}}{\color {Blue})}}$

هنا إشتقاق دالة الجيب $\sin(x)\,$ هي دالة الظل $\cos(x)\,$.

(← الدوال المثلثية)

أمثلة عن الإشتقاق

للمزيد من التفاصيل طالع مقالة ويكيبيديا: اشتقاق (أمثلة).

الإشتقاق الجزئي

للمزيد من التفاصيل طالع مقالة ويكيبيديا: اشتقاق جزئي.

أدبيات

• [1] English Wikibooks (2008): Calculus

• [2] Feynman R., Leighton R, and Sands M (1966). The Feynman Lectures on Physics. Vol. 1. ISBN 0-201-02116-1

• [3] Deutsh Wikibooks (2008): Differentialrechnung, Mathematik für Ingenieure