ميكانيكا كلاسيكية/حساب التفاضل

حساب التفاضل

سَتنعرفُ الآن على أحد أهم الأدوات الرياضية التي تَتَأسسُ عليها دراسة الحركة والتغير في الميكانيكا، وهي حساب التفاضل (Calculus). في الحقيقة لن نجد هنا مجالاً كافياً للإحاطة بكل جوانب هذا الموضوع، ولكننا سنحاول تقديم مُوجز يُمكننا من إستيعاب العديد من المفاهيم التي سنأتي على ذِكرها فيما بعد.

ماهو حساب التفاضل ؟

للمزيد من التفاصيل طالع مقالة ويكيبيديا: تفاضل.

(ش. 12)

(ش. 13) عداد السرعة وتحته عداد المسافة.

هناك في الطّبيعة أمورٌ كثيرة تتغير، وخير مثال على ذلك هي حركة الأشياء حولنا. فالتغير في الموقع الضاهري لجسم مع الزمن هو ما نُسميه "حركة". لنعتبر أن هذا الجسم صلبٌ ولنعبر عنه بنقطة نستطيع رؤيتها في الفضاء. سوف نصف حركة هذه العلامة الصغيرة التي يمكن أن تكون غطاء سيارة، أو مركز كرة تقع على الأرض، أو رأس ذبابة، أو نواة ذرة،... السؤال هنا هو كيف يمكن إقتفاء هذا التغير الذي تمثله الحركة رياضياً ؟

لعلك ستقول لي لماذا "نقطة" ؟ فهناك بعض التغيرات التي نجد صعوبة في وصفها كنقطة في جسم صلب، وستضرب لي أمثلة عديدة؛ كحركة غيمة في السماء،وهي شيء غير محدود بدقة فهي تتكثف وتتبخر، أو ربما التغيرات التي قد تطرئ في ذهنك في هذه اللحضات. في الواقع نحن لا نعرف لحد الآن طريقة بسيطة لوصف التغير في تفكير الإنسان مثلاً، لأن الأمر يتعلق بتفاعلات معقدة في الشبكة العصبونية لدماغ، ولكننا نستطيع وصف حركة الغيمة بدراسة حركة الجزيئات التي تكونها.

ولكنني أدعوك الآن، بغاية تبسيط الأمور، بأن تتمسك بكون الأجسام التي ندرسها لها أبعاد صغيرة جداً وثابتة بالمقارنة مع الفضاء الفسيح الذي تتحرك فيه. على سبيل المثال، عندما سننظر إلى سيارة متحركة (ش. 12)، فليس علينا التمييز بين مقدمتها ومؤخرتها بل سنقول فقط أنها نقطة تحمل اسم "سيارة". لنتناسى أيضاً أبعاد الفضاء الثلاثة، ولنقل أن هذه السيارة تتحرك في بعد واحد وهو الطريق أمامها. الكمية المتغيرة هنا هي المسافة التي تقطعها السيارة بداية من نقطة الانطلاق، وهي تتغير مع الزمن.

يتعامل حساب التفاضل مع معدلات التغير المستمر في الكميات، ولنقول بمفردات الرياضيات؛ أنه من الممكن إيجاد قانون أو لنقل دالة (Function) تمكننا من وصف تنقلها (أين توجد في مكان ما من الفضاء بالمقارنة مع نقطة مرجعية) وذلك في أي وقت من الأوقات. فضلاً عن ذلك علينا معرفة مقدار السرعة واتجاه الحركة في أي نقطة وفي أي لحضة من الزمن. بتعبير رياضي نكتب:

$x=f(t)\,$

(المسافة x تتغير بدالة f حسب الزمن t)

$v=f(t)\,$

(السرعة v تتغير بدالة f حسب الزمن t)

لتقريب الصورة فالأمر شبيه لحد كبير بعداد السرعة وعداد المسافة المتواجدان على متن كل سيارة (ش. 13).في أي لحظة من الزمن، نستطيع قراءة عداد المسافة ليعطينا عدد الكيلومترات أو الأميال التي قطعتها السيارة (في السيارات القديمة كانت المسافة تعطى عن طريق أعداد مكتوبة على أقراص تدور كلما تحركت السيارة، ولكن العدادات صارت اليوم رقمية وفي هي تشير إلى 5887 كيلومتراً في الصورة أعلاه). مُعدل التغير (Rate of change) في هذه القراءة هو السرعة التي تتحرك بها السيارة؛ فكلما كانت أسرع، دارت الأقراص أكثر. إذن عداد السرعة هنا ليس سوى إشتقاق (Derivative) عداد قراءة المسافة، فهو يخبرك بارتفاع أو إنخفاض أو ثبات هذا الأخير في كل لحظة من الزمن. إذا توقفت السيارة (السرعة تساوي صفراً) فعداد المسافة سيظل ثابتاً، لأن معدل التغير هو صفر. بلغة الرياضيات، نقول أن تفاضل مقدار ثابت هو صفر.

تخيل الآن أنك ستقود السيارة بسرعة ثابتة وهي 120 كيلومتراً في الساعة، قراءة عداد المسافة ستتغير بكيلومترين في كل دقيقة، وهذا يعني أننا قادرون على معرفة المسافة التي قطعتها السيارة في كل لحضة من الزمن. في الرياضيات، إذا كنت تعرف تفاضل دالة (مثل السرعة) فإنك تستطيع أن تستنتج الدالة نفسها (مثل المسافة) بحساب التكامل (Integration).

السُرعَة هي مُعدل تَغير المَسافة بالنسبة للزمن؛ من خلال الإشتِقَاق نجد مُعدَل التّغير في كمية (السرعة). وفي الإتجاه المعاكس، من خلال التَكامُل نجد الكمية التي تتغير (المسافة).