الفرق بين المراجعتين لصفحة: «إحصاء/المتوسطات/المتوسط الهندسي»

تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
طلا ملخص تعديل
لا ملخص تعديل
سطر 2:
 
[[تصنيف:إحصاء]]
{{مصدر|تاريخ=مارس 2016}}
في الرياضيات، '''المتوسط الهندسي''' هو نوع من المتوسطات أو المعدّلات التي تقيس [[مقاييس النزعة المركزية|النزعة المركزية]] أو القيمة النموذجية لمجموعة معطيات. ويشبه المتوسط الهندسي نظيره، [[المتوسط الحسابي]]، وهو ما يخطر ببال معظم الناس عندما يفكرون بكلمة "متوسّط"، إلا أنّه بدلاً من أن يتم جمع القيم في المجموعة والقسمة على عدد الحدود فيها، يتم حساب [[جذر عدد|الجذر الـ''n'']] لحاصل ضرب حدود المجموعة، حيث ''n'' هو عدد الحدود.
 
على سبيل المثال، فإنّ المتوسط الهندسي للعددين '''2''' و'''8''' ما هو إلاّ [[جذر تربيعي|الجذر التربيعي]] لحاصل ضربهما ('''16''')، أي '''4'''. وفي مثال آخر، فإنّ المتوسط الهندسي للأعداد '''1''' و'''2/1''' و'''4/1''' هو [[جذر تكعيبي|الجذر التكعيبي]] لحاصل ضربهم (0.125)، أي '''2/1'''.
 
وتأتي تسمية المتوسط الهندسي من ما يلي: إنّ المتوسط الهندسي لعددين، ''a'' و''b'' يعادل طول ضلع [[مربع]] تساوي مساحته مساحة [[مستطيل]] أطوال ضلعيه هما ''a'' و''b''، أي ما هو الـ''g'' الذي يحقّق <math>g^2 = a \cdot b</math>. وبشكل مماثل، فإنّ المتوسط الهندسي لثلاثة أعداد هي ''a'' و''b'' و''c'' يعادل طول ضلع [[مكعب|المكعب]] الذي يساوي حجمه حجم [[متوازي مستطيلات]] أطوال أضلاعه هي ''a'' و''b'' و''c''.
 
إنّ المتوسط الهندسي معرّف فقط لمجموعة أعداد فيها كل الحدود موجبة. كما ويستخدم غالبًا في الحالات التي تكون فيها المعطيات هي قيمًا من المفروض أن تضرب بعضها ببعض، أو تلك المعطيات ذات الطابع [[دالة أسية|الأسي]]، ك[[نمو أسي|النمو الأسي]] لمجموعات سكانية، أو لحساب نسبة [[فائدة|الفائدة]] المعدلة على مر عدة سنين. وإنّ المتوسط الهندسي هو واحد من المتوسطات البيثاغورية الثلاثة، بالإضافة إلى [[متوسط حسابي|المتوسط الحسابي]] و[[متوسط توافقي|المتوسط التوافقي]].
 
== حساب ==
 
يتم حساب المتوسط الهندسي لمجموعة معطيات <math>\left[a_1, \dots, a_n\right]</math> بواسطة:
 
:<math>\bigg(\prod_{i=1}^n a_i \bigg)^{1/n} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}.</math>
 
وإذا ما أردنا حساب المتوسط الهندسي لمجموعة آخذة بالكبر، سيكون المتوسط الهندسي بعد الحصول على الحد الـ''n'' هو:
 
:<math>\bar{a} _{n+1} = \sqrt[n+1]{\bar{a} _{n}^{n} \cdot a_{n+1}}</math>
 
حيث <math>\bar{a} _{k}</math> هو المتوسط الهندسي للحدود <math>a_1, \dots, a_k</math>.
 
== خواص ==
* وفق [[متراجحة المعدلات]]، فإنّ المتوسط الهندسي للمجموعة دائمًا أصغر من أو مساوٍ [[متوسط حسابي|للمتوسط الحسابي]] للمجموعة، وأكبر من أو مساوٍ [[متوسط توافقي|للمتوسط التوافقي]]:
 
:<math>\ \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_n}} \leq (a_1 \cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{a_1+\dots+a_n}{n}</math>
 
ويكون التعادل فقط إذا كانت جميع الحدود في المجموعة متساوية.
 
== أنظر أيضًا ==
* [[متوسط حسابي]]
* [[متوسط توافقي]]
* [[متراجحة المعدلات]]
{{شريط بوابات|رياضيات|إحصاء}}
 
{{بذرة رياضيات}}
 
{{إحصاءات}}
[[تصنيف:متوسطات]]
[[تصنيف:مقاييس النزعة المركزية]]