جبر/جبر خطي/جملة المعادلات الخطية

المعادلات الخطية

المعادلة الخطية عبارة عن معادلة تأخذ الشكل التالي : $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b$

a₁,a₂, etc. تسمى معاملات المعادلة و b يدعى الحد الثابت. المتغيرات في الجبر الخطي يرمز لها ب x_n بدلا من x, y, z,.... الخ.

بسبب كثرة المتغيرات المستخدمة في الجبر الخطي.

الحدود التي تظهر على الجانب الأيسر من المعادلة الخطية يجب أن تكون ذات أس يساوي تماما = 1. في حين تكون الحدود على الجانب الأيمن ذات أ

جمل المعادلات الخطية

أي جملة مؤلفة من m معادلة ذات n متغير تأخذ الشكل ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\cdots &+a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&\cdots &+a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&\cdots &+a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\end{matrix}}$

إذا كان معامل أحد المتغيرات في المعادلة الخطية صفرا عندئذ يمكن اهماله . بالتالي من غير الضروري أن نجد جميع المتغيرات في معادلة واحدة.

لنأخذ من المعادلات الخطية :

1. ${\begin{matrix}2x_{1}&-2x_{2}&+x_{3}&=&1\\-3x_{1}&+2x_{2}&&=&3\\3x_{1}&+2x_{2}&+x_{3}&=&7\end{matrix}}$

2. ${\begin{matrix}2x_{1}&-2x_{2}&-x_{3}&+2x_{4}&=&0\\-3x_{1}&&+2x_{3}&&=&0\\3x_{1}&+2x_{2}&+x_{3}&-x_{4}&=&0\end{matrix}}$

الجملة الثانية نسميها : جملة متجانسة لأن جميع الحدود الثابتة في جميع المعادلات معدومة (صفر) .

عادة تتألف جملة المعادلات الخطية من اثنتين أو أكثر من المعادلات الخطية التي تملك نفس المتغيرات .

نظريا أيضا ، يمكن لنا معاملة جملة خطية وحيدة على أنها جملة مؤلفة من معادلة واحدة .

تشكيل المصفوفة

نرتب معاملات الجمل الخطية بشكل مصفوفة m-في-n (أي مصفوفة مربعة ذات m سطر و n عمود), لنحصل على :

$A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)$

لنجعل :

$b=\left({\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right)$

و

$x=\left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{matrix}}\right)$.

يمكن أن تكتب جملة المعادلات الخطية كما يلي :

$Ax=b$

كان هذا أحد أهم الدوافع لدراسة نظرية المصفوفات.

لمعلومات أكثر اقرأ : جبر:المصفوفات.

حل جمل المعادلات الخطية

حل جملة المعادلات الخطية هي مجموعة القيم التي تعطى لكل متغير لكي تصبح مجموعة المعادلات جميعها صحيحة.

مثلا : حل جملة المعادلات المعطاة سلفا هو : (0,1.5,4) لأن :

2(0)-1.5(2)+1(4)=1, -3(0)+2(1.5)=3, و 3(0)+2(1.5)+4=7.