تحليل رياضي/نهاية الدالة

في هذا الدرس سنحاول تعريف مفهوم النهاية بالنسبة للمبتدئين , مفهوم نهاية الدالة مفهوم أساسي في علم التحليل الرياضي , نهاية دالة ترتبط بالسلوك الذي تتبعه الدالة عند محدات مجموعة تعريفها . وأهمية النهايات في بعض المواضيع الرياضية الأخرى كالاشتقاق و الاتصال.

تمهيدعدل

للخوض في مفهوم النهايات يجب على المتعلم على مجموعة من المهارات المنطقية و الأدوات الرياضياتية أهمها القدرة على صياغة البراهين فالنهايات أو التحليل بأكمله و الكثير من فروع الرياضيات يحتاج إلى الدقة و الملاحظة و سلاسة البراهين و انسجام الحجج. المكتسبات القبلية:

  • الدوال : التغير - المركب - الدوال الحدودية - الدوال الجذرية و الدوال اللاجذرية - الدوال المثلثية - .
  • المنطق : المكممات - الاستلزام و التكافئ ...
  • أساسيات الجبر

النهاية المنتهية عند نقطةعدل

مثال للفهمعدل

النهاية المنتهية لدالة عدد حقيقي قد ينتمي إلى مجموعة تعريفها و قد لا يكون . نقول إن الدالة   تقبل نهاية   عند   يعني: أن الدالة   تقترب من نهايتها   كلما اقترب المتغير من   بتعبير رياضي نقول :
عندما يؤول   نحو   فإن   تؤول نحو   . ونكتب    

مثال:  

التعريف بالمكمماتعدل

يسمى أيضا في لغة التلاميذ التعريف بالإبسلونات:

 
كلما اقترب   من   بفرق قيمته المطلقة أقل من   فان   تقترب من   و تكون القيمة المطلقة للفرق بينهما أصغر من 

الدالة   تقبل نهاية   عند  إذا و فقط إذا:
 
  عدد صغير جدا
  عدد صغير جدا

النهاية اللامنتهية عند نقطةعدل

مثال للفهمعدل

في بعض الدوال الغيرمتصلة تكون النهاية غير حقيقية في بعض النقط.وتكون إما   أو   مثال:    
نلاحظ من المبيان أعلاه أن الرسم مكون من قسمين أي أن الدالة غير متصلة (درس الإتصال).كلما أقترب   من   على اليمين أونقول   ( صفر زائد أو صفر موجب أو جوار صفر على اليمين أي القيم الموجبة القريبة من 0 مثال 0,00000000001)فإن   يأخذ قيم موجبة كبيرة جدا فنقول أن نهاية   يمين   هي   (زائد لاناهية وهو عدد غير حقيقي) و نكتب  .والعكس بالنسبة   على اليسار أي   ( أي القيم السالبة القريبة من 0 مثال 0,00000000001-) عندما تؤول قيم   نحو   فان مقلوبها يكون صغير جدا و سالب إذن النهاية هنا ناقص لانهاية   ونقول إن الدالة تؤول نحو ناقص لانهاية عندما يؤول   نحو  .
أي:  

التعريف بالمكمماتعدل

  •   تؤول نحو   بجوار نقطة   يكافئ:

 

  •   تؤول نحو   بجوار نقطة   يكافئ:

 

التعريف بالمكمماتعدل

  •   تؤول نحو   بجوار نقطة   يكافئ:

 

  •   تؤول نحو   بجوار نقطة   يكافئ:

 

النهاية المنتهية عند اللانهايةعدل

مثال للفهمعدل

نأخذ نفس المثال السابق   نعلم أن الدالة معرفة على جميع نقط   ماعدا   . بالنسبة لهذه الدالة نلاحظ أنه كلما كبر   فان   يصغر .أي عندما يؤول المتغير نحو الزائد لانهاية فان صورته تؤول نحو الصفر.

 
 

و نكتب:  
أو بالأحرى   لأنها موجبة .
و بالمثل عند الناقص لانهاية : 
و لنكون أكثر دقة : 
يمكن أن نجمع الحالتين معا في :  

التعريف بالمكمماتعدل

  •   تقبل نهاية   عند   تكافئ:

 

  •   تقبل نهاية   عند   تكافئ:

 
-   مجموعة تعريف الدالة.

النهاية اللامنتهية عند اللانهايةعدل

مثال للفهمعدل

نأخذ كمثال دالة المربع   المعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية بكاملها.
كلما كبر   فان   يصبح أكبر كذلك و نقول أن الدالة تؤول نحو الزائد لانهاية عندما يؤول   نحو زائد لانهاية نفس الشيء عندما يؤول إلى ناقص لانهاية .
  و  

التعريف بالمكمماتعدل

  1.  
  •   تؤول نحو زائد لانهاية عند زائد لانهاية إذا وفقط إذا:

 

  •   تؤول نحو زائد لانهاية عند ناقص لانهاية إذا وفقط إذا:

 

 
دالة المربع
  1.  
  •   تؤول نحو ناقص لانهاية عند زائد لانهاية إذا وفقط إذا:

 

  •   تؤول نحو ناقص لانهاية عند ناقص لانهاية إذا وفقط إذا:

 

العمليات على النهاياتعدل

نهاية المجموععدل

 
الخانة الفارغة تحتوي شكلا غير محدد وهو نتيجة لا يمكن حسابها.

نهاية الجداءعدل

 
لتحديد إشارة النتائج بالأزرق يجب الرجوع قاعدة جداء الإشارات

نهايةالخارج (القسمة)عدل

 
لتحديد إشارة النتائج بالأزرق يجب الرجوع قاعدة جداء الإشارات

نهاية مركب الدوالعدل

نعتبر الدالة المركبة   وتكتب على الشكل   الرمز   ينطق رُو
نهاية   هي نهاية   لكن المتغير يصبح   ويصبح يؤول نحو  

نهايات إعتياديةعدل

  ،   ،   ،   ،   ،  

  هناك ملفات عن Convergence في ويكيميديا كومنز.